নতুন ও মূল কন্ট্রোল সার্কিট বোর্ড হনইয়েল সিসি-জিডিআইএল 21 ডিজিটাল ইনপুট আইটা 51306319-175

আমরা একটি S-algebra R এর উপর একটি (বাম) মডিউল M কে একটি S-মডিউল M হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি যার একটি কর্ম R ?? S M -→ M যেমন স্ট্যান্ডার্ড ডায়াগ্রামগুলি কমিউট করে।আমরা (বাম) আর-মডিউলগুলির একটি বিভাগ এমআর এবং একটি প্রাপ্ত বিভাগ ডিআর পাই. একটি ডান R-মডিউল M এবং একটি বাম R-মডিউল N এর একটি smash পণ্য আছে, যা একটি Smodule। বাম R-মডিউল M এবং N এর জন্য, একটি ফাংশন আছে S-মডিউল FR(M,N) যা অ্যালজেব্রায় হোমোমোরফিজমের মডিউলের মতো বৈশিষ্ট্য ভোগ করে. প্রতিটি FR ((M, M) একটি S-বিজোড়। যদি R কম্যুটেটিভ হয়, তাহলে M R N এবং FR ((M, N) হল R-মডিউল, এবং এই ক্ষেত্রে MR এবং DR MS এবং DS এর সমস্ত বৈশিষ্ট্য উপভোগ করে।সুতরাং প্রতিটি কম্যুটেটিভ এস-অ্যালজিব্রা R R-মোডুলগুলির একটি প্রাপ্ত বিভাগ নির্ধারণ করে যা স্থিতিশীল হোমোটোপি বিভাগের সমস্ত কাঠামো রয়েছেএই নতুন শ্রেণীগুলি উল্লেখযোগ্য অন্তর্নিহিত আগ্রহের বিষয় এবং তারা ক্লাসিকাল স্থিতিশীল হোমোটোপি শ্রেণীর তদন্তের জন্য শক্তিশালী নতুন সরঞ্জাম দেয়।

আইলেনবার্গ-ম্যাক লেন স্পেকট্রাতে সীমাবদ্ধ হলে, আমাদের টপোলজিক্যাল তত্ত্ব ক্লাসিকাল বীজগণিতের একটি ভাল অংশকে অন্তর্ভুক্ত করে। একটি বিচ্ছিন্ন রিং R এবং R-মডিউল M এবং N এর জন্য, আমাদের TorR n (M,N) ∼= πn ((HM HR HN) এবং Extn R ((M, N) ∼= π−nFHR(HM, HN) । এখানে √R এবং FR কে উদ্ভূত শ্রেণীতে ব্যাখ্যা করতে হবে; অর্থাৎ HM অবশ্যই একটি CW HR-মডিউল হতে হবে। উপরন্তু,বীজগণিতিক উৎপন্ন ক্যাটাগরি DR এর সমতুল্য টোপোলজিক্যাল উৎপন্ন ক্যাটাগরি DHRসাধারণভাবে, একটি S-algebra R এর জন্য, R-মডিউল M এর নিকটবর্তীতা দুর্বল সমতুল্য কোষ R-মডিউলগুলির দ্বারা মূলত বীজগণিতের প্রজেক্টিভ রেজোলিউশন গঠনের অনুরূপ।একটি অনেক বেশি সুনির্দিষ্ট উপমা আছে যা প্রাপ্ত মডিউলগুলির 3 টি বিভাগকে রিং বাএটি [34] এ উপস্থাপন করা হয়েছে, যা A∞ এবং E∞ কে-অ্যালজেব্রার একটি বীজগণিত তত্ত্ব দেয় যা বর্তমান টপোলজিকাল তত্ত্বের সাথে খুব সমান্তরাল।স্পেকট্রাম S-এ সীমাবদ্ধ হলে, প্রাপ্ত স্ম্যাশ পণ্য এম ০ এস এন এবং ফাংশন স্পেকট্রা FS ((এম, এন) তাদের হোমোটোপি গ্রুপ হিসাবে হোমোলজি এবং কোহোমোলজি গ্রুপ এন ০ ০ এম) এবং এন ০ (এম) রয়েছে। এটি বিকল্প নোটেশন প্রস্তাব করে।