হানেওয়েল ফিল্ডবাস মডিউল কন্ট্রোল সার্কিট বোর্ড সিসি-এমসিআরএইচ01 51403892-100 বক্সে নতুন

ডিআরকে একটি নতুন স্থিতিশীল হোমোটোপি বিভাগ হিসাবে বিবেচনা করে, যেখানে R একটি কম্যুটেটিভ এস-অ্যালজিব্রা, আমরা একটি R-মডিউল M এর উপর একটি উপাদান x ∈ Rn এর কর্মকে R-মডিউল x এর মানচিত্র হিসাবে উপলব্ধি করতে পারিঃ ΣnM −→ M।আমরা M/xM কে x এর কোফাইবার হিসেবে সংজ্ঞায়িত করি, এবং আমরা স্থানীয়করণ M[x −1 ] সংজ্ঞায়িত করা হয় একটি গণনাযোগ্য পুনরাবৃত্তির টেলিস্কোপ হিসাবে x এর desuspensions, M -→ Σ -nM দিয়ে শুরু করে। পুনরাবৃত্তি দ্বারা,আমরা উপাদানগুলির ক্রম এবং উপাদানগুলির ক্রমগুলিতে স্থানীয়করণের মাধ্যমে কোয়েন্টগুলি তৈরি করতে পারি. আমরা হোমোটোপিকাল অর্থে R-ring spectra, associative R-ring spectra, এবং commutative R-ring spectra সংজ্ঞায়িত করি, যার পণ্য A R A -→ A এর মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়।এবং এটা বেশ সহজ হতে দেখা যায় অধ্যয়ন করতে যখন কোয়ালিটি এবং R-ring spectra স্থানীয়করণ আবার R-ring spectra হয়

আমরা একটি প্রদত্ত R-মডিউল E এ R-মডিউলগুলির Bousfield স্থানীয়করণ নির্মাণ করব। নীতিগতভাবে, এটি একটি উদ্ভূত বিভাগ ধারণা, কিন্তু আমরা সঠিক পয়েন্ট সেট স্তরের নির্মাণ পেতে হবে।বিভিন্ন পয়েন্ট সেট স্তরের নির্মাণ ব্যবহার করে, we shall prove that the Bousfield localizations of R-algebras can be constructed to be R-algebras and the Bousfield localizations of commutative R-modules can be constructed to be commutative R-algebrasবিশেষ করে E এ R এর স্থানীয়করণ RE একটি কম্যুটেটিভ R-algebra, এবং আমরা দেখতে পাব যে RE-মডিউলগুলির বিভাগটি বউসফিল্ড স্থানীয়করণের গবেষণায় একটি অন্তর্নিহিত কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে.

বিশেষ ক্ষেত্রে, this theory will imply that the spectra KO and KU that represent real and complex periodic K-theory can be constructed as commutative algebras over the S-algebras ko and ku that represent real and complex connective K-theory. অতএব KO এবং KU হল কম্যুটেটিভ S-algebras, যেমনটি E∞ রিং স্পেকট্রার পূর্ববর্তী প্রেক্ষাপটে দীর্ঘকাল ধরে অনুমান করা হয়েছিল। আবার,এটা সরাসরি S-algebra কাঠামো নির্মাণের চেয়ে ধারালো ko এবং ku-algebra বিবৃতি প্রমাণ করা অনেক সহজ.